Halo teman-teman setelah kita membahas materi tentang integral parsial, selajutnya pada materi kali ini kita akan membahas tentang Integral Fungsi Rasional Linier. Yang dimana menurut definisi suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak(polinom). Sebagai contoh perhatikan tiga fungsi berikut ini:
Sebelum masuk kepmbahasan lebih lanjut ada dua istilahh yang pelu kita pahami terlebih dahulu, yakni fungsi rasional sejati dan fungsi rasional tidak sejati.
Fungsi f dan g di atas dinamakan fungsi rasional sejati karena pangkat dari pembilang kurang dari pangkat penyebut. Sebaliknya, fungsi h adalah fungsi rasional tidak sejati karena pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebut.
Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Sebagai contoh perhatikan berikut ini:
Hasil di atas kita peroleh dengan melakukan pembagian pembilan oleh penyebut, seperti dapat dilihat pada perhitungan berikut:
Oleh karena fugsi suku banyak mudah diintegralkan, maka persoalan mengintegralkan fugsi rasional terletak pada persoala mengintegralkan fugsi rasional sejati. Tetapi apakah fungsi rasional sejati selalu dapat diintegralkan? Dalam teori, jawabannya selalu dapat walaupun pencariannya tidak selalu mudah.
Sebagai contoh kita akan mengerjakan integral fungsi f di atas:
penyelesaian:
Dengan menggunakan subtitusi u = x + 1, maka
Penjabaran menjadi pecahan parsial(faktorr linier)
kita pasti sering menjumlahkan dua pecahan, misalnya
Namun untuk mengintegralkan fungsi rasional, yang hendak kita pelajari ialah pengerjaan yang sebaliknya yaitu menjabarkan menjadi pecahan parsial. Sebagai contoh, untuk mengintegralkan fungsi
kita perlu menjabarkan f(x) menjadi pecahan parsialnya terlebih dahulu, yaitu
Dengan demikian, integralnya yaitu:
Contoh soal!
Penyelesaian:
Kita bisa memfaktorkan penyebut dari fungsi dalam soal ini menjadi x(x +1)(x - 3) karena itu kita menuliskan berikut ini:
Disini kita akan mencari nilai A, B, dan C sehingga persamaan di atas bernilai benar. Karena penyebut persamaan ruas kanan dan kirinya adalah sama, maka kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya saja, yakni;
5x + 3 = A(x + 1)(x - 3) + Bx(x - 3) + Cx(x + 1)
Jika kita subtitusikan nilai x = 0, x= -1 dan x = 3, kita peroleh hasil
3= A(-3
-2 = B(4)
18 = C(12)
atau A = -1, B = -1/2, C = 3/2. Dengan demikian, kita dapatkaan hasil berikut:
Itulah sedikit penjelasan materi integral fungsi rasional linier, semoga kita semua dapat memahaminya dengan baik. Sampai jumpa dipenjelasan materi selanjutnya...
Komentar
Posting Komentar